《千年难题 (The Millennium Problems)(哲人石丛书) 》(The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time)(Keith J. Devlin 基思·德夫林)扫描版[PDF]

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简介:


简介
答对一道题，奖你一百万
　　朱惠霖
　　从网络安全说起
　　当你在网上通过电子金融系统将一笔款项汇进指定的账户时，你有没有担心过你的密码会在传送过程中被他人窃取？如果没有，那就对了，因为密码是加密传送的。什么是加密传送？举个例子，假定你的密码是123456，那么采用一定的数学变换规则，这个密码可能就变成了@ #^※▲，一串莫名其妙的符号。即使让人窃取，也没有关系。
　　但是别人会不会把那个变换规则也窃取了呢？说出来怕吓着你，根本用不着窃取，这个变换规则几乎是公开的！由于加密必须在传送之前进行，因此，至少在加密的那一刻，相应的变换程序就在你的电脑里面，而且对于所有使用这一系统的人来说，都是这样。任何人，只要电脑技术水平达到一定程度，要取得这个程序，易如反掌。
　　请不要紧张，这个规则仅仅是加密规则，即把123456变成@ #^※▲的规则，而要把@ #^※▲还原成123456，就要用到解密规则。解密规则掌握在银行手里，绝对保密。银行收到@ #^※▲这串符号后，用解密规则把它还原成你的密码123456，对你的身份进行认证，然后才按照你的要求完成汇款操作。
　　你可能会问：难道加密规则与解密规则之间不会有什么联系吗？知道了加密规则，是不是可以把解密规则推算出来？问得好！加密规则与解密规则好比一个人与他在镜子的影像，关系太密切了！从理论上说，知道了加密规则，确实是可以推算出解密规则的。
　　这不太危险了吗？其实没关系。为了解释这一点，先请你做一道算术题，把17827和38729这两个数乘起来。手算的话，要不了三五分钟，你就会得出答数690421883。但如果你把17827和38729这两个数秘而不宣，仅把690421883给你的朋友，要求他把这个数分解为两个大于1的整数的乘积，那你就把他给害苦了。不花上三五个小时他是算不出来的。
　　你看，有些问题，正着算的时候很容易，把问题反过来，就很繁难了。用于网络信息保密的加密规则与解密规则，与这种情况很相似：加密很容易，反过来要解密，就很繁难（确切地说，是从加密规则推算出解密规则从而解密很繁难，否则银行方面解密也会很困难，就不能及时完成业务了），不花上个十年半载，甚至成百上千年，是解不出来的。因此你尽可放心。
　　P对NP问题
　　但是还有一个问题。我们说解密很难，是与解密的方法有关的。仍以690421883这个数为例，要把它分解为两个大于1的整数的乘积，目前所知道的方法，本质上都是“试除法”，即用一个个正整数（实际上是用素数，即不能被除1和其本身之外的其他整数所整除的数，如2，3，5，7，11等）去试除这个数，看看能不能被整除。可以说这是一种近乎“蛮干”的笨方法。那么是不是有一种比较巧妙的方法，能很容易地把它分解出来呢？同样，是不是会有一种巧妙的方法，能很容易地由加密规则推算出解密规则呢？真正令人担心的事就在这里：当今的数学家和计算机科学家都不能保证这样的方法不存在！
　　以目前成为工业标准的RSA加密系统为例，如果有谁能找到一种方法，从它的加密规则很容易地推算出它的解密规则，那么，整个互联网将处于极不安全的状态，人们不得不耗费巨资更换这个加密系统。反过来，如果有谁能在数学上证明这样的方法根本就不存在，那么这个人将得到100万美元的奖金，而且名垂青史。
　　说这个人将名垂青史，是因为他从某个角度解决了一道世界著名的数学难题——P对NP问题。说这个人将得到100万美元的奖金，是因为美国的克莱数学促进会于2000年5月宣布：对包括P对NP问题在内的七道世界数学难题，以每道题100万美元的奖额寻求解答。
　　那么，什么是P对NP问题？克莱数学促进会是怎么回事？其他六道难题是什么？为什么人们要以每道100万美元的奖额寻求解答？
　　数学家把一类计算起来很容易的问题（例如把若干个数乘起来）称作P问题；把一类计算起来比较繁难但验算答案却很容易的问题（例如把一个整数分解为素因数的乘积）称作NP问题。但目前认为是NP问题的问题中，很可能有一些问题实际上是P问题，只是我们还没有为它们找到一种比较容易的计算方法。
　　P对NP问题是问：是不是所有的NP问题实际上都是P问题？
　　RSA加密系统的破解问题就是一个NP问题，因此证明这个问题不可能是P问题，等于说至少有一个NP问题不可能是P问题，这就从否定的角度回答了这个问题。当然，你也可以选其他任何一个NP问题来证明它不可能是P问题，从而获得这100万美元的大奖。
　　对这个问题的回答也可能是肯定的：“是的，所有的NP问题实际上都是P问题”。要作出这种回答，似乎有点悬。目前已知的NP问题就有成千上万个，而且新的NP问题还在不断产生，难道我们要为每个NP问题都找出一种比较容易的计算方法吗？不必，因为在上世纪60年代，有一位名叫库克的美国数学家，他证明：在NP问题中有一种所谓的“NP完全问题”，只要有一个NP完全问题实际上是P问题，那么所有的NP问题就都是P问题了！真是一花独放就引来满园春色。你只要选取一个NP完全问题，并证明它实际上是P问题，你就能拿到这100万美元了。
　　千年难题
　　设在美国马萨诸塞州剑桥的克莱数学促进会是一个非赢利性组织，旨在促进和支持数学研究，由美国共同基金公司巨头和业余数学爱好者克莱出资组建。这次克莱又捐赠700万美元，请一个国际知名数学家小组花数月时间从当代数学的主要领域中选出了七道最重要的未解决问题，称之为“千年难题”，设立了这个百万美元大奖。
　　这七道千年难题，除了P对NP问题外，还有：黎曼假设、杨-米尔斯理论和质量缺口假设、纳维-斯托克斯方程、庞加莱猜想、伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想、霍奇猜想。同刚才介绍的P对NP问题一样，这六道难题也是对当今社会具有重大理论意义和现实意义的数学问题，而且其中有些问题已有100多年的历史，全世界许多最优秀的数学家曾试图解决它们，但到它们作为千年难题被提出时为止，都无功而返。
　　克莱数学促进会为它们设立百万美元大奖的目的是，希望全世界的人们对数学这门如此重要的学科给予充分的注意，不但因为现代生活的许多特征性表现以一种根本性的方式依赖于数学，而且因为数学在某种意义上代表着人类理性智能的顶峰。
　　值得令人高兴的是，据来自2006年国际数学家大会的消息，这七大千年难题中的庞加莱猜想已被证明，俄罗斯数学家佩雷尔曼在最终证明这个猜想的过程中作出了决定性的贡献。来自美国、中国的多位数学家（如朱熹平、曹怀东）都对此作出了贡献。
　　然而，不管是佩雷尔曼，还是其他有关的数学家，都没有向克莱数学促进会提出领奖申请。这又是为什么呢？
　　此外，这七大千年难题的详细内容到底是什么？数学到底是研究什么的？数学家到底在干什么？他们为什么要研究数学？这一系列问题，或许让你多少还有点困惑。那么，建议你去看一看上海科技教育出版社最近出版的《千年难题——七个悬赏1000000美元的数学问题》一书。这本书由美国数学家和数学普及作家基思·德夫林撰写，他以高中数学为起点，不但讲述了这七大千年难题的内容、由来以及它们对数学和科学的意义，而且以此为窗口，让读者领略了一下现代数学前沿领域的大好风光。
　　最后要给你一个忠告：这些问题是人类数学知识向其极限发展过程中的里程碑，给每题标价100万美元仅仅是对它们这种地位的承认，专业数学家也不会仅仅为了这100万美元而去试图解决某一道千年难题。如果你还是名学生或者是一名业余数学爱好者，那么你可以立下将来要解决一道千年难题的志向，但是现在绝不要去尝试，特别是不要为了这100万美元！　　
作者简介
　　基思·德夫林是斯坦福大学语言与信息研究中心行政主任，斯坦福大学数学系教授。他不仅与西蒙定期为美国全国公共电台的“周末版”节目撰写稿件(在节目中他被称作“数学小子”)，而且出现在“说说国民”、“科学星期五”、“听上去像是科学”、“就我们的知识所及”等节目中。他是25本著作、一张互动式CD光盘与75篇数学研究论文的作者。他是美国科学院数学科学教育委员会委员、美国科学促进会成员和世界经济论坛成员。现居加利福尼亚州帕洛阿尔托市。