《无泪的拓扑》(Topology_Without_Tears)文字版;

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简介:


拓扑学中拓扑综述的经典书籍,适用于初学者,我在大学学习点集拓扑学时的主要参考书.
适用于大学学习拓扑的入门教材.这是免费教材.
下面是目录:
0 Introduction 5
0.1 Acknowledgment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2 Readers – Locations and Professions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3 Readers’ Compliments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Topological Spaces 13
1.1 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Open Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Finite-Closed Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Postscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 The Euclidean Topology 35
2.1 Euclidean Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Basis for a Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Basis for a Given Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Postscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Limit Points 56
3.1 Limit Points and Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Neighbourhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Postscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Homeomorphisms 70
4.1 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Homeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Non-Homeomorphic Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 Postscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Continuous Mappings 90
5.1 Continuous Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Intermediate Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Postscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6 Metric Spaces 104
6.1 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2 Convergence of Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.4 Contraction Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.5 Baire Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.6 Postscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7 Compactness 149
7.1 Compact Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.2 The Heine-Borel Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.3 Postscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8 Finite Products 162
8.1 The Product Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.2 Projections onto Factors of a Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3 Tychonoff’s Theorem for Finite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.4 Products and Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.5 Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.6 Postscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9 Countable Products 182
9.1 The Cantor Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.2 The Product Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.3 The Cantor Space and the Hilbert Cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.4 Urysohn’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.5 Peano’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.6 Postscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10 Tychonoff’s Theorem 213
10.1 The Product Topology For All Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.2 Zorn’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.3 Tychonoff’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.4 Stone-˘Cech Compactification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10.5 Postscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Appendix 1: Infinite Sets 247
Appendix 2: Topology Personalities 270
Appendix 3: Chaos Theory and Dynamical Systems 277
Appendix 4: Hausdorff Dimension 306
Appendix 5: Topological Groups 319
Bibliography 343
Index 359